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peut décomposer, dans presque tous les cas, le premier membre 

 de Téquation donnée en deux facteurs symboliques, et par suite 

 la question est ramenée à l'intégration de deux équations du pre- 

 mier ordre. Si nous avions fait A=a=cr 1 =i,nous aurions trouvé 

 une équation de condition à laquelle les coefficients de l'équation 

 donnée devraient satisfaire (*). 



En se donnant à priori les valeurs de quelques-unes, ou de 

 toutes les quantités a, «,, on forme des équations assez générales 

 qui peuvent se ramener au premier ordre. Les deux suivantes, 

 par exemple, obtenues en faisant a = b — a { = b { = 1 et a=a t — x , 

 b — b l = y, sont dans ce cas : 



ri*z d'Z d 2 z dz dz 



— -4- 2 - — - h -+- f {x -h y) h f {x -+- y) h z . $ {x + y) = 



dx* dxdy dy* J 'dx J dy 



^d-z _ d 2 z d 2 z dz dz 



!/ 2 — -*- vffa y) t + x ffa y)-r~ z -ffaiï = 



dx 2 dxdy dy 2 dx dy 



■p, f et /"désignant des fonctions quelconques. 



42. Quand les coefficients du second facteur symbolique ne sont 

 fondions que de y ou de x, on pourra parfois trouver d'autres 

 relations que les six qui ont été données plus haut entre a, b, c, 

 a n 6,, <y En effet, soit, dans ce cas, 



(AD? -t- BD| -4- C -+- 2FD,, -t- 2GD* -+- 2HD xy ) z 

 — (rtD x -4- 6D\, -+- c) {aj) x -4- bfiy -t- C,) z. 



On aura, en regardant y comme constant et D indiquant la déri- 

 vation par rapport à x : 



(AD2 + U + C + 2F + 2GD -+- 2HD) u 

 j={aD -t-6-t-c) («jD -+-b t -t-cj u 



])ourvu que«!, b it c i} ne soient fonction que de x. Car on passe 

 des facteurs symboliques de l'équation aux dérivées partielles à 



(*) Voir Lacroix, I. II, § 768, p. 61 1. Il arrive à l'équation de condition après 

 avoir transformé l'équation donnée par le procédé d'Euler. C'est dans l'équa- 

 tion transformée qu'il suppose un des coefficients égal à l'unité, ttoole, p. 455, 

 arrive à une équation de condition, en suivant une méthode toute différente. 



