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 plus difficile la recherche de ces facteurs. En voici un exemple (*). 

 Si l'on pose : 



(ADI -+- 2HD; y + BD| + 2GD, + 2V\) U + G) z 

 = (aD x + 6D,, -+- c) («A -4- ^Dj, -4- c t ) s. 



On trouvera, pour déterminer a, a,, 6, 6 l5 c. c, , les rela- 

 tions : 



dc r , de, 



A = aa, \S = bb n C = cc,H-a- ho— , 



cfa? dy 



dfc. cfô, 



u 2H = ab. -t-ff.6; 2F = 6^ H- 6 t c -4- a — -+-6 — ; 



dx dy 



da t da t 



2G = ac. ■+■ ax ■+■ a h b — . 



dx dy 



Il suffira de trouver une solution particulière de ces équations 

 pour que Ton puisse décomposer le premier membre de l'équation 

 donnée en deux facteurs symboliques. Puisqu'il y a six équations, 

 le problème est en général possible. Mais si l'on faisait, avec Le- 

 gendre et Laplace , A ==a= a t =^\, l'intégration des équations pré- 

 cédentes réduites à cinq et contenant quatre fonctions inconnues 

 6, />,, c, c, , ne pourrait plus s'effectuer que s'il existait une rela- 

 tion entre les coefficients B, C, II, F, G. 



Soit, par exemple, l'équation : 



d 2 z d*z ez d-z 2o dz 2/ dz 



A— - -+-B — h h2H h— - — t- — =0. 



dx- di/ 2 {hx -h ky)' 2 dxdy hx -+- hy dx hx -h ky dy 



On reconnaîtra immédiatement que, si A, B, II , e, h, k, y, j, 

 sont des constantes, on peut satisfaire aux six équations de con- 

 dition , en supposant que m , m, , a, a { , 6, 6, soient des constantes 



telles que 



m m t 



hx ■+- ky ' hx -t- ky 



A = rt« t h = bb l %U =ab l -\-a l b 

 e = mm ï — ahm — bkm t ; < 2[= bm t ■+■ mb x ; tg = am t 4- ma v 



Ces équations sont, en général , compatibles , de sorte que l'on 

 i*) Voir Lacroix, t. II, § 767, p. 605; § 763, p. 615. 



