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On peut aussi parfois trouver des solutions particulières par 

 des artifices se rattachant à cette méthode. Ainsi la troisième équa- 

 tion donnée plus haut peut s'écrire : 



{xD £ -+- yBy) {xD x -+- i/Dy)j5 = n 2 z. 

 Si Ton pose : 



(xl) x -+• yD y ) z = zb mv 

 on aura : 



(xV x ■+- yVy) 10 = ± riz. 



La forme de ces équations prouve que l'on peut y satisfaire en 

 faisants—^, et cette hypothèse étant introduite dans l'une d'elles, 

 on trouve : 



*. f (j) 



ce qui, dans le cas actuel, équivaut à la connaissance de l'intégrale 

 générale (*). 



\ 1 . Laplace et Legendre se sont déjà occupés de la composition 

 du premier membre d'une équation du second ordre en deux fac- 

 teurs symboliques du premier ordre; mais en donnant à l'équa- 

 tion une forme particulière et surtout en faisant le coefficient du 

 premier terme de l'équation égal à l'unité, ils ont rendu parfois 



O Les quatre équations données ci-dessus sont empruntées à Lacroix, t. II, 

 pp. 58o, 691, et Bertrand, Calcul différentiel, p. 223. On peut former à volonté 

 autant d'équations in légrables que Ton veut. Ainsi, l'équation suivante : 



( D X yz + fxDyz -+- fiyVx; H- fzzD X y + fx.f t yDz -h fxfa-Vy + A2/A~- D - + fc-fiH-f»*) u 



= F(x,y,z) 



se ramène à un système d'équations différentielles linéaires, parce qu'elle peut 

 s'écrire '• 



(Dx+/x) {Dy + f t y) (T)z + f,z.)u = F(x,y,z). 



L'équation : 



[Vxyz— xyVsy— xzhjcz— yzD IJZ -\-[xyz— t) (xDx-+-j/Dj / 4-rD J )-4-(5a!;j/s— x 2 y 2 z 2 — l)]w=0 



se met sous la forme : 



(Dx — ys) [Dy — xz) {\) z — yx) u = o 

 et a pour intégrale la plus générale : 



U, étant fonction quelconque de y et z, U 2 une fonction quelconque de x et s, 

 V- une fonction quelconque de y et z. 



