( 24) 

 Soient, en second lieu : 

 (Dx-^Dy) {D x -a s Py)....(to x -a n Dy)z = 0, (D. e — bï) y ) 5 = 0. 

 La solution commune z devra satisfaire aux équations : 



d:*=o, Dx~ , d j/ 5=o, d,d;" i *=o, d; i 2=o. 



La fonction, la plus générale qui satisfasse à ces dernières équa- 

 tions est un polynôme de degré n — 4 en x et y à coefficients arbi- 

 traires. Un semblable polynôme satisfait à la première équation 

 donnée en z, mais pour satisfaire à la seconde, il doit être de la 

 forme : 



Z = C + C l (t/+ bx) -h C 2 (y -+- bx? -f- -4- Cn-i {y 4- te)"- 1 



C, C,... C n _,j étant des constantes arbitraires. 



Soient, enfin, deux équations d'ordre quelconque : 



(D x - bfly) (D, - 6 2 Dj,) (D x . - feiDj,) (D x - o^y) (D, - a k V y ) z = 0, 



(D x — qD,,) (D x -c 2 D y )... .(D x — c m Dj,) (D x — rt t D y ) (D* — a*D s )* = 0. 



On posera : 



(D x - a t D f ) (D x — u 2 \)y) (D, - a*D„) z = « 



les équations données deviendront : 



(D x — 6,D y ) (D x — 6iDs,)w = 



(D x - c t D,) (Dx - c m D y ) z* = 0. 



Si m est égal ou inférieur à l, ces équations ont pour solution 

 commune l'intégrale de l'équation : 



(D x - o t D,) (D x - a 2 b y ) (D x - a k b y ) u = V 



V étant an polynôme quelconque de degré m — 1 en x et y. 



Mais nous savons, parle cas particulier examiné plus baut, qu'il 

 peut y avoir d'autres solutions communes. En opérant comme dans 

 le cas des équations linéaires différentielles, on trouve deux équa- 

 tions auxiliaires, dont l'une du premier ordre, qui ont parmi leurs 

 solutions communes toutes celles des équations données. Mais la 

 réciproque ne sera pas vraie: on devra donc, après avoir trouvé les 



