( 23 ) 



On trouve encore aisément l'intégrale dans le cas où le second 

 membre est une fonction entière de x et y. 



Les équations à coefficients constants linéaires, et homogènes 

 par rapport aux signes de dérivation, pourront se mettre sous la 



forme : 



(Dx - a t Uy) k i (D x - a^ y ) k i (D, - ajftfà a = U 



ou 



P (D, — aV y ) k z = \] 



U étant une fonction de x et de ;/, et «.« 2 • — «» des constantes. En 

 intégrant par le procédé indiqué dans le cas précédent, on trouve, 

 quand U = o 



Z = S [aj*- f $ï (y -+- ax) h- x k ~* ï 2 {y -+- ax) -4- + h {y 4- ax)] 



*Pn hi'—h désignant des fonctions arbitraires, k le degré de 

 multiplicité du facteur symbolique correspondant à la quantité a. 



On intègre, avec la même facilité, les équations où ie second 

 membre a une forme analogue à l'intégrale générale que nous 

 venons de trouver (*). 



9. La recherche des solutions communes à plusieurs équations 

 linéaires peut se faire absolument comme dans le cas des équa- 

 tions différentielles; mais on n'arrive plus, comme pour celles-ci, 

 à un théorème général donnant toutes les solutions communes. 

 Nous allons indiquer la cause de cette différence. 



Soient, d'abord, les deux équations : 



(D x . - atoy) 2 = 0, (D.* - a'Dy) z = Q. 

 On en déduit, pour la solution commune : 



D x z — , UyZ = , z = une constante. 



(") Cauchy ne traite par la première méthode de Brîsson que les deux équa- 

 tions : 



d 2 - d-z d i z d-z d-z 



— — = ax -+- bu et -— - 2 — — -+- -— = e™+h (pp. 181-185). 



dx- dy- J rfx a dxdij dy- 



Il décompose en facteurs symboliques une autre équation (p. 192). Mais il 

 s'occupe de cas plus généraux par la seconde méthode de Drisson et par une 

 autre qui lui est propre (pp. 189 et 197). 



