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L'équation : 



(D* — aD y ) z = ft {t/ -+- flff) 



donne une équation en z" identique à la précédente, si ion pose 

 z = £'f, (y -+- ax) et z' = 3c+^". On a donc, en désignant par 

 ^ 2 (y ■+- rtjr) une fonction arbitraire de ?/ ■+- ax, 



s = # ?i (^/ -+- ax) -4- f t (^ -*- «#) ? a (y -+" «#) » 

 ou d'une manière abrégée : 



En généra] , si , 



n — 1!. n — 2!. 1 



l'équation 



(D a - aD v ) z = F„ 



a pour intégrale z=F n+l , F n+ , étant une expression formée 

 d'après la même loi que F„ et où entre une nouvelle fonction 

 a M+ , arbitraire. Dans le cas où ç^ 2 ....?„ sont des fonctions com- 

 plètement arbitraires de y+ax, n'ayant, par conséquent, au- 

 cune relation entre elle-, on peut mettre F„ sous la forme : 



V" 



ri-- "raj"'*^»-!» 'ht étant des fonctions complètement arbitraires 

 de y -+- «x. 



Considérons maintenant l'équation : 



dz dz 



En intégrant cette équation parla méthode ordinaire, on est con- 

 duit à l'intégrale : 



z == 7C {y ■+- 6a?) -+- a;"- 1 £, (*/ -+- aa?) -f- #"- 2 % 2 (// + ax ) ■+■ ••• ■+■ ^» (^ + rta; ) 



7r désignant une fonction arbitraire, et %,%.>....%„ étant des fonc- 

 tions qui se déduisent de àïh—'h [ )iXV d es relations connues, et 

 arbitraires d'ailleurs quand ces dernières le sonf. 



