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X étant une fonction de se et a { cu 2 ... a n étant des constantes. On 

 peut remplacer cette équation par un. système d'équations du 

 premier ordre. Dans le cas où X = 0, on trouve, en s'appuyant 

 sur ce qui précède, 



y = Sa* (C^- 1 -+- C 2 x k ~î + . .. -+• C*_ 4 a? + C k ) 



S étant le signe sommatoire ordinaire et C, ... C k des constantes 

 arbitraires (*). 



On intègre avec la même facilité les équations où le second 

 membre, au lieu d'être nul, a une forme analogue à l'intégrale 

 générale trouvée plus haut. 



Les équations aux différences mêlées, de la fornlc 



P(D-a)*[A+(l — ft)]«y = 0, 



se ramènent à la dernière classe d'équations. Posons en effet : 



P[A-*-(1- b)] l y = w 

 on aura : 



P(D — o)*ie = 



et par suite, en faisant. e a =c : 



w = Sc x (C t x k - 1 -+- C 5 .^-2 h- .... -4- C k ) 



L'équation en y devient donc : 



P[a -*- (1 — b)] l y = Sc^C,^- 1 -4- .... ■+- C*) 



que l'on saura intégrer. On remarquera que les constantes intro- 

 duites par l'intégration de l'équation différentielle sont de nature 

 différente de celles qu'introduit l'équation aux différences; celles-ci 

 sont des fonctions de x, qui ne varient pas quand x croît de 



O Cauchy {Exercices, l. Il , pp. 175-180) traite complètement le cas des 



équations du second ordre avec coefficients variables et celle du n ,ème ordre de 



la forme : 



( A — r)« y = fx 



On peut en déduire une partie des résultats précédents en faisant fx = o. 

 1) étudie cette dernière équation et l'équation (1), par la seconde méthode 

 de Brisson,pp. 189 et 195-197. 



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