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4. Une faible modification de la méthode de Brisson , appliquée 

 aux équations à coefficients variables, conduit à une méthode ana- 

 logue à celle de Laplacc pour l'intégration des équations aux déri- 

 vées partielles (*). Soit, par exemple, l'équation suivante, considérée 

 par M. Spitzcrf*), 



X t- l 



dx n 



d»-'y I dy \ 



sa v 1 œ h jUy 



dœ n ~ { \ flx j 



On reconnaît, sans peine que l'on peut écrire cette équation 

 sous la forme : 



n«-i (j-o -f- > - n -+- 1) y - o (x\) -t- ,u) y = 0. 



Dans le cas où X — n -¥• I = p, on a donc : 



(D"- 1 — v) (a?D -+- m) y ~ , 



ce qui conduit à l'intégrale générale sous forme finie. Mais si Ton 

 n'a pas x — h t- 1 = a, on pose /.• = > — n . -*- 1 et 



#D*/ -f- A-// = w ; (8) 



alors, au lieu de I équation donnée, il vient 



t)"- ' ii = vu — v (k — iu) y. (9) 



Si l'on élimine y et Dy entre ces deux équations et la dérivée de 



la seconde, on trouve : 



/ du 

 rï)"tt -+- AI)"- 1 m = v \x h M 



ou 



/ du 



\ r/.r 



(*) Voir Lacroix, l. Il , p. 009, n n 767. 

 (**) Archives de Grunert, t. 46, p. 2o. (Voir Nouvelles Annales de mathéma- 

 tiques, 1867, p. 190). Spitzer donne une solution au moyen des intégrales 

 définies contenant n — 1 constantes arbitraires, dans le cas où X, u-,v sont 

 des constantes quelconques. Il en déduit, dans le cas où ,u et ^^ sont des 

 nombres entiers, l'intégrale générale sous l'orme finie; ensuite, par une autre 

 méthode, il trouve l'intégrale générale au moyen des intégrales définies 

 quand M et / ~~ so;it positifs, mais non entiers En remarquant, comme 



