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lions particulières de l'équation , on pourra trouver m des n fac- 

 teurs symboliques du premier ordre dont le produit est égal au 

 premier membre. 



On conclut de là les beaux théorèmes de Lagrangc et de d'Alcm- 

 bert sur les équations linéaires avec second membre : 1° si l'on 

 connaît la solution d'une équation linéaire sans second membre, 

 on peut en déduire, par de simples quadratures, la solution de 

 l'équation correspondante avec second membre; 2° si l'on connaît 

 m solutions particulières d'une équation linéaire sans second mem- 

 bre, l'ordre de l'équation correspondante avec second membre 

 pourra être diminué de m unités; il en sera de même si l'on con- 

 naît une équation d'ordre m ayant m solutions particulières com- 

 munes avec l'équation d'ordre n sans second membre. En effet , 

 si l'équation d'ordre n est 



N = (A n D" -t- A^"-' -f- ... -+- A») y = 0, 



et celle d'ordre m 



M = (B n D m -h l^D'»- 1 -h ... -h B w ) y = , 



comme on peut décomposer le premier membre de ces équations 

 en m et n facteurs symboliques, dont m seront communs aux 

 deux équations, il en résulte que l'on peut poser : 



N = (C D'»-«* + CjD»-™- 1 -*-...-+- C„_ m ) M 



et l'on saura déterminer C C,...C„_, H sans effectuer d'intégration. 

 La métbode qui vient d'être exposée peut, dans des cas res- 

 treints, conduire à l'intégration des équations linéaires à coeffi- 

 cients variables. Si l'on a, pour ne parler que de l'équation du 

 quatrième ordre, A = a (px -h </) 4 , A i = a l (px -h q) z , etc., on 

 trouve aisément que l'équation (4) en t peut être vérifiée par 

 t = m[px -+- q)~ l , m étant convenablement déterminé, et l'on 

 reconnaît que 1 équation (7), à laquelle on est ramené, est encore 

 de même forme que l'équation primitive ; de sorte que l'on est sûr 

 que tous les coefficients t t t ± .. ont la forme t = m(px -+- </) _1 . On 

 est conduit de cette manière à l'intégrale connue de l'équation 

 linéaire en question. 



