( Il ) 



A cause de lit ressemblance de forme cuire les équations (3) 

 et (5), toute solution de l'équation (3) est aussi une solution de 

 l'équation (5). Soit t=t t , z, = f, nue semblable solution com- 

 mune; d'après l'équation (4), on aura: 



Da- ■/,s = / l ou D(z-f- 1)— /, (z-+- l) = 

 ou encore : 



égalité qui démontre le théorème énoncé pins haut. Revenons 

 maintenant à l'équation (1) ou (2), et soit 



y = c 1 M 1 -4- C'^Wg -+■ C s tt 8 4- C i U t 



son intégrale la plus générale. Posons : 



Dy — ty — w. (6) 



L'équation (2) deviendra 



(B D3 -h U t D 2 h- B S D h- B 8 ) UJ = 0. (7) 



Nous venons de voir que l'on peut prendre £ — /,, /, étant 

 déterminé par la relation : 



»</, - ( 1 y l = 



où l'on peut supposer, par exemple y { — h { (*). 



La relation (6) donne la valeur la plus générale de w corres- 

 pondant à cette valeur /, de l : 



W=.\) (c 1 U l -+- C 2 U. 2 -4- C Z 1I- -4- C 4 M 4 ) — /, {C 1 U t -H r 2 ?/ 8 -H C 3 ?/ 3 -H C 4 M 4 ) 



(pie nous écrivons : 



IV = C S W 3 -4- C-IC- -4- C 4 W> 4 



en posant : 



u> 2 = (D — / t )w 2 , fc 5 = (D — f t )t/„ m? s (D — / t )w 4 . 



On peut ramener l'équation (7) à une équation du deuxième 

 ordre, et celle-ci à une du premier, en raisonnant comme on l'a 



(*) L'intégrale la plus générale de (5) contenant irois constantes arbitraires 

 ne peut être que D [c t u t -i-...-t-c t vJ '■ [c ï u l -+- ...-4- c 4 " 4 ). 



