m 



(D -bjib-i,) ...\h-bi) (D — a t ) (D-cr 2 )..(b--a A )// = 

 (D - Cl ) (D - c â ) ... (D - c m ) (D - o t ) (D - a 2 ) ... (D - a k )y = 



</, a., ... a k désignant les racines communes aux équations carac- 

 téristiques. 



Il est clair que la solution la plus générale de 



u = (D — o t ) (D — a 2 ) . . (D — ak) y — 



est une solution commune aux deux équations données. Je dis 

 qu'elles n'en ont pas d'autre. Pour le prouver, mettons ces équa- 

 tions sous la forme : 



(D — 6J(D— 6 S )... (D — bi)u = Q (1) 



( D - Ci ) (D - c 2 ) ... (D - c m )u = 0. (2) 



Toute solution commune aux équations (1) et (2) satisfera aussi 

 à l'équation d'ordre / (/ étant supposé plus grand que m) : 



(D - c,) (D — c 2 ) ... (D — c m ) (D - &,„+,) .... (D - bi) u = (3) 



et par suite à l'équation d'ordre l — 1 au plus, obtenue en sous- 

 trayant 1 équation (5) de l'équation (1), savoir : 



(D - e x ) (D - e 9 ) ... (D - e p ) (D - 6 m+ i) .... (D — b t ) u = 0. (4) 



Les quantités e { e t ... e p seront différentes de c, c 2 ... ; comme 

 le sont déjà b m+l ...b t . Des équations (2) et (4) on déduira une 

 équation analogue à (4) et d'ordre / — 2 au plus; de celle-ci et 

 de (2) une nouvelle équation analogue d'ordre / — 5 et ainsi de 

 suite jusqu'à ce que l'on arrive à une équation d'ordre inférieur 

 à celui de 1 équation (2) et où les racines de l'équation caracté- 

 ristique seront toujours différentes de c t c 2 ••• c m . Cette équation 

 formera avec (2) un système où cette dernière équation pourra 

 être remplacée par une équation d'ordre inférieur à celui de 

 l'autre Bref, on arrivera à deux équations, l'une, du premier 

 ordre, l'autre, d'ordre quelconque : 



(D-/>) M = 0, (D-^)(D-f7 2 ) (D — <7„)w = 



n'ayant aucun facteur symbolique commun. La seule solution 

 commune est donc u — o. 



