( 7 ) 



de multiplicité est />, et b une quantité qui n'csl égale à aucune 

 des racines de cette équation. Il suflit évidemment d'ajouter à 

 l'intégrale générale trouvée plus haut les deux termes : 



S& u iQ l œP +1 i- 1 -+■ Q. 2 j:>'+'/- 2 -4- ... -f- Q (i aF)-t-Se te (K a; r 4-R 1 a? ,_1 -+-...H-R,.). 



les nouvelles constantes étant convenablement déterminées au 



moyen de relations qui les font dépendre des constantes q t q fj , 



r r r , comme il a été dit à propos de l'équation du premier 



ordre. 



11 est facile de voir que, dans le cas actuel, de 1 équation 



P(D - a) k y = X, 

 on peut déduire 



P(D — a)'i . P(D - by+ l . P(D - a) k y = ; 

 ou 



P(D - 6)H-i (D- a) k +''y = 0. 



C'est au moyen de cette dernière que M. Michaëlis intègre 

 l'équation avec second membre (*). 



Dans le cas où x est une fonction quelconque, on trouve; 



y — Se a "(C L x k - 1 -H C 2 .r*- 2 h- .... -h C*) -f- X, 

 X t = e"H x /e(«H -ï-ttfrdx fe iu n~-i- a n-iî*dx / f e^ a \- a ^'dx f e~ u ^\dx 



expression déjà donnée par Cauchy et décomposée par lui en une 

 somme d'intégrales simples (**). 



La méthode de Brisson fournit les intégrales particulières avec 

 la même facilité que l'intégrale générale. Si Ton donne, par 

 exemple, les valeurs ?/ , y' Q ... */o" -,) de y et de ses dérivées pour 

 x — x , on connaîtra immédiatement les valeurs des variables 



(') Mémoires de la Société des sciences naturelles du Luxembourg., 

 t. Vil I. Dans les traités de calcul intégral, on trouve directement cette inté- 

 grale générale par la méthode des coefficients indéterminés, mais on laisse 

 ordinairement de côté le cas où q n'est pas nul. 



(**) Cauchy, Exercices, t. Il, p. 175. Il traite, en outre, complètement 

 quelques exemples d'équations du second ordre avec second membre quel- 

 conque. La question générale est exposée par la seconde méthode de Brisson , 

 pp. 186-189. 



