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A T, U, désignant des constantes et X une fonction quel- 



conque de x. Supposons que Ton ait: 



/a = ft» + Aa"-' 4- ... +T«+ U = (« - «^ (a - a t )....{a— a„_0(a a») 



l'équation différentielle pourra s'écrire symboliquement : 



(D — a t )(D -aj (D — a.) . .. (D - a„-i) (D - a„)y = X. (1) 



Sous cette l'orme, on voit qu'elle peut se ramener au système 

 suivant : 



(D^-a ll )y=y l ; (D- a„-i)y i =y i ...(D— s )y B -2=î/n-i; (D— «,^«-i = X. r2) 



On peut intégrer successivement ces équations qui sont linéai- 

 res et du premier ordre. Si X = 0, et que les quantités a, a?. ,a u 

 soient inégales, on trouve: 



//„_i = C,,*»»* ; //„ _ 2 == C î2 e«i a -i- C 22 ««* 1 ; 

 /y„_ 3 = C 13 e"i* h- C 23 e a ** -+- C--e"" x \ 



yi — Ci, n-i# 1 *-*- Ci, „_ i e«^-+- -t- C-lw'-j e«i«-i x ; 



/y = CiCi* -t- Cae"^ -4- C 3 e"3 x -+- -+- C„e"« r . 



Dans chaque équation, les constantes sont complètement arbi- 

 traires, et elles dépendent, comme on l'a vu plus liant, des 

 constantes de l'équation précédente. 



Si plusieurs des quantités «, a 2 ... étaient égales, l'équation don- 

 née pourrait s'écrire: 



(D - a,)*i (D — a 2 )** .... (D - (i n )''»y = ou P(D — «)*# = 



P désignant le produit de facteurs symboliques, analogues 

 à (D-a)*, /.' le degré de multiplicité de la racine a dans l'équation 

 caractéristique de l'équation linéaire. En tenant compte de ce qui 

 précède, sur les équations du premier ordre, on trouve : 



y = Sc" ,J (C 1 .^- 1 -+- C 2 a7*- 2 -+-...-*- C k -ix -+- C A ) 



S étant le signe somma toi re ordinaire. 

 Supposons que X soit égal à 



Se" J ((] v T''- i -+- r/ 2 r'/- 2 -i- .... -+- r/ y ) -h Sc**(r 4 r -4- >Y£'~' 4- .... -h >',), 



«désignant une racine de l'équation caractéristique dont le degré 



