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§ I. — Equations différentielles linéaires. 



1 . Équations linéaires à coefficients constants. — Représentons 

 par X une expression de la forme : 



e Br {</ 1 a?'/- , -+- q % afl-* h- (] 5 œ ( <-~° -*-...-+- q q ) -+- Se bx (r x r -+- i\x'- 1 -+- ... -i- r r ) 



u j b, q u q.,, ... q q , r , r,, ... r,. étant des constantes, le signe S 

 désignant une somme de termes analogues à celui devant lequel 

 il se trouve et q et r des nombres entiers positifs. 

 L'équation linéaire : 



dy 



— aij = X ou Dy — ay = X 



que nous pouvons écrire symboliquement : 



[ a]?/ = X ou (D — a)y = \ 



\dx ) 



aura pour intégrale : 



y = Ce * + e^îQ^fl -*- Q. 2 x'i- 1 -+- ... -+- Q 7 ) ■+- Se'" (P v r r -f- R,*'-» -+- ... -+• R r ) 



les constantes étant déterminées par les relations : 



qQ l = Qn (v-— i>Q« = 7.; « Q<r=<to 



R a ('> - a) — r 9 ', j-R -+- R x (6 — a) = r t ; ... R r _j -+- R r (6 - <*) = » 



et C étant arbitraire. Si les constantes <y, ... r/ y , >•„ ... r r sont com- 

 plètement arbitraires, de manière à n'avoir entre elles aucune 

 relation, les constantes Q,...QJ, R„ ... R f sont aussi complète- 

 ment arbitraires. 



Soit maintenant l'équation linéaire: 



d « y d »-i /y dy 



— --*-A -+- ....-i- 1 — +Ui/ = X 



<lx' 1 d.r" dx 



ou 



D"// -f- AD"- 1 // -H .... -t- TD/y -h U// = X 



