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VI. — PRINCIPE DE GENERATION. 



28. Nous allons faire voir comment les théorèmes (8), (il) ou 

 (9), (12) conduisent au principe suivant : 



Etant donnée une courbe géométrique d'ordre m, définie par 



"[^~ ' points et susceptible d'être construite géométriquement ; 

 elle permet d'en engendrer, par la règle et le compas, une infinité 

 d'autres, définies aussi elles-mêmes par le nombre minimum de 

 points nécessaires pour les déterminer (l'ordre de ces dernières 

 peut d'ailleurs dépasser tout nombre donné) (*). 



Supposons en effet qu'on sache construire une courbe 1 d'ordre 

 ni, à points simples ou multiples. 



Si l'on prend son arguesienne d'après le théorème (8), par 

 rapport à cinq points quelconques A, B, C, D, P, on obtiendra 

 une courbe d'ordre 5»?, qui possède au inoins cinq points multi- 

 ples, à savoir : les quatre points A, B, C, D comme points multi- 

 ples d'ordre m, et le point P multiple d'ordre 2m. 



Mais réciproquement, d'après (11), toute courbe de cette forme 

 peut être ramenée à la construction d'une courbe de la forme l; 

 donc on sait ainsi construire une nouvelle courbe. 



Au lieu de prendre arbitrairement les cinq points A , B, C, D, P, 

 supposons que l'un d'eux, A par exemple, soit un point simple 

 de S; cela conduira a à une forme de courbe d'ordre 3m — 1 que 

 l'on saura encore construire. 



Mais, au lieu de supposer qu'un seul des cinq points A,B, C,D, P, 

 soit un point simple de 1, nous pouvons supposer qu'un second 

 point, qu'un troisième, qu'un quatrième, qu'un cinquième le 

 soient; puis enfin, si 2 a des points multiples, on peut les com- 

 biner entre eux avec les points simples ou les points nuls (**), 

 de façon à les prendre encore pour points A , B , C , D , P ; chaque 



(*) Ce principe ne semble-t-il pas constituer une classification des courbes 

 géométriques? 



(**) Si la courbe I , ne passe pas par l'un des points A , U, C, D, P, ce point 

 est dit un point nul de la courbe. 



