qu'à ceux que guide l 'instinct du génie. On ne s'étonnera donc pas 

 si, tout en étant plongé dans la profonde douleur que nous font 

 éprouver les désastres de notre malheureuse patrie, nous goûtons 

 néanmoins une jouissance indicible à faire connaître un procédé 

 accessible à l'esprit le moins géométrique et qui cependant con- 

 duit à ce résultat inespéré (*) : 



Étant donnée irtie surface géométrique d'ordre m, susceptible 

 d'être construite géométriquement; elle permet d'en engendrer 

 une infinité : l'ordre de ces surfaces peut d'ailleurs dépasser tout 

 nombre donné. 



(g) Nous avons consacré la deuxième section de la première 

 partie de ce mémoire à l'exposition de ce nouveau principe; la 

 méthode suivie n'est autre que l'extension naturelle de celle que 

 nous avons développée dans la première section (•**;, Nous ne 



{*) Ceci a été écrit dans les premiers jours du mois de janvier 1871. 



C*) Nous sommes en possession d'un nouveau mode de transformation qui, 

 non-seulement comme ce dernier, fait connaître un moyen général de con- 

 struire une infinité de systèmes de surfaces, mais encore enseigne à construire 

 une infinité de courbes gauches. Nous nous proposons d'y consacrer plus tard 

 un nouveau mémoire; quant à présent, nous nous bornerons à énoncer les deux 

 théorèmes fondamentaux. 



Afin de les définir avec plus de netteté, nous ferons les conventions suivantes, 



qui d'ailleurs nous seront utiles dans la suile. 



1" Les notations : 



(A - GDa*) , (AB - CD* 2 ) 



représenteront les faisceaux de droites ou de plans en involution qui ont 

 pour sommets ou arêtes A ou AB et qui sont déterminés par les deux droites 

 homologues AC, AD et par le rayon double \x ou par les plans homologues 

 ABC, ABD et par le plan double ABj;. 



Théorème I. — Soient ABC un triangle quelconque et trois droites issues 

 des sommets A, B, C, aboutissant en un même point et déterminant sur les 

 cotés opposés les points a, 13, y. 



Considérons les trois faisceaux des droites en involution : 



(A - BGî:») , (B — AC3 2 J , ' . (C — ABy *-). 



Joignons un point m, pris à volonté dans le plan ABD, aux sommets du triangle ; 

 les droites homologues aux droites 



Àjtf, Bas Cy. 



