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 Le lieu géométrique I), du point homologue au point 



•w, 



dans l'involution définie par les quatre points 



{ce, oc'), (0,(3'), 



est Varguesienne de la courbe S, par rapport aux deux coniques 

 S,, S 2 , dites de référence, et au point P appelé pôle. 



Remarque. — Nous désignerons constamment par A, 15, C, Dles 

 quatre points communs aux deux coniques S S 2 , et par P le pôle 

 de la transformation. 



II. - ORDRE ET AFFECTIONS DE L'ÀRGUESIENNE DUNE COURBE, 



2. Nous allons d'abord nous proposer ce problème préliminaire : 

 Trouver l'ordre et les affections de Varguesienne D' dune ligne 



droite l'. 



3. Oiidre de D'. — Sur chaque sécante issue du point P, la 

 définition du lieu ne donne qu'un seul point (d'ailleurs différent 

 généralement du point P), donc Vordre de D' est égal à l'ordre' 

 de multiplicité du point P, plus un. 



4. Ordre de multiplicité du point P. — Il est marqué par le 

 nombre des transversales auxquelles répond le point P, pour 

 point correspondant du lieu; ces transversales sont évidemment 

 déterminées par le point P, associé à l'un des points communs 

 des deux lieux géométriques suivants : 



1° La droite l' ; 



2° Le lieu du point homologue au point [\dans la série des invo- 

 lutions déterminées par les quatre points de rencontre d'une 

 tra?isvcrsale arbitraire issue du point P, avec les coniques de 

 référence. 



Mais, d'après le théorème de Desargues, le second lieu n'est 

 autre que la conique W déterminée par les cinq points A, B,C, D, 

 P; donc les transversales cherchées sont au nombre de deux. 

 Ainsi le point P est un point double et la courbe est du troisième 

 ordre. 



