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o. Points remarquables de I)'. — La construction du lieu 

 montre que les quatre points communs aux deux coniques l'ont 

 partie du lieu. 



6. Cas ou D' se décompose. — D'après le théorème de Ikzout, 

 un lieu du troisième ordre se décompose s'il a quatre points en 

 ligne droite; il résulte de là que D' se décompose : 



1° Si le point P est sur l'une des sécantes communes aux 

 coniques S„ S 2 ; 



2° Si la droite 2' passe par l'un des points communs aux co- 

 niques S|, S a ; 



ô° Si la droite 2' passe par le point P (*). 



7. Résumé. — En résumé, nous voyons que : 



1° Si le point P n'est pas sur l'une des sécantes communes aux 

 deux coniques, l'arguesienne d'une droite est, en général, une 

 courbe proprement dite, du troisième ordre, ayant le point P pour 

 point double et passant par A, B, C, D. 



2° Si le point P est sur l'une des sécantes communes aux deux 

 coniques, l'arguesienne dune droite est, en général, une conique 

 proprement dite, passant par le pôle et par les deux autres points 

 communs aux deux coniques qui ne sont pas en ligne droite avec 

 le point P, mais ne passant généralement pas par ces derniers. 



De là ces deux théorèmes fondamentaux : 



8. Premier théorème fondamental. — Si le point P n'est pas 

 sur l'une des sécantes communes aux deux coniques de référence, 

 l'arguesienne d'une courbe 2 d'ordre 



m, 



qui a : 



4° Les quatre points 



A, B, C, D 



respectivement multiples d'ordre 



a , b , c , <l ; 



C) Le lieu se décompose encore si l'une des coniques S t , par exemple , est 

 une droite double passant par le point P; dans ce cas, l'arguesienne d'une 

 droite est évidemment une droite. On voit en outre facilement que la transfor- 

 mation correspondante est un cas particulier de la transformai ion homolixjique. 



