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points, il s'ensuit que cinq points simples, ajoutés aux cinq 

 points A, B, C, D, P, sont nécessaires et suffisants pour déter- 

 miner une telle courbe du sixième ordre (*). 



De là, la génération suivante de la courbe du sixième ordre, 

 affectée de quatre points doubles A, B, C, D, d'un point quadru- 

 ple P, et déterminée par ces points multiples et cinq autres points 

 1,2, 3, 4, 5. 



Par les quatre points doubles , faites passer deux coniques quel- 

 conques (évidemment deux systèmes de droites si ces points 

 doubles sont réels). Joignez le point P aux cinq points d, 2, 3, 4, 5. 



Ces droites déterminent sur les deux coniques cinq involutions; 

 prenez respectivement les points 1', 2', 5', 4', 5' homologues à d, 

 2, 3, 4, 5, et faites-y passer une conique: la courbe proposée est 

 l'arguesienne de cette conique. 



Supposons en second lieu que l'on prenne, d'après le théorème 

 (9), l'arguesienne d'une conique qui ne passe par aucun des points 

 A,B,P. 



Ce théorème montre que l'arguesienne est une courbe du qua- 

 trième ordre, affectée des trois points A, B, P pour points dou- 

 bles. 



Mais ce même théorème montre que, réciproquement (12), l'ar- 

 guesienne d'une courbe du quatrième ordre, affectée des trois 

 points A, B, P pour points doubles, est une conique qui ne passe 

 par aucun de ces points; donc il s'ensuit que cinq points simples, 

 ajoutés aux trois points A, B, P, sont nécessaires et suffisants pour 

 déterminer une telle courbe du quatrième ordre (**). 



Delà, la génération suivante de la courbe du quatrième ordre 

 affectée de trois points doubles A , B, P, et déterminée par ces 

 points multiples et cinq autres points 1, 2, 3, 4, 5. 



O On est ainsi conduit à vérifier que, dans une courbe du sixième ordre , 

 quatre points doubles et un point quadruple équivalent à vingt-deux points 

 simples , puisqu'il faut vingt-sept points simples pour déterminer une telle 

 courbe. 



( ¥¥ ) On vérifie ainsi que, dans une courbe du quatrième ordre, trois points 

 doubles équivalent à neuf points simples, puisqu'il faut quatorze points sim- 

 ples pour déterminer une telle courbe. ♦ 



