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Prenez deux points quelconques C, D en ligne droite avec le 

 point P, et par ces deux points et les points A, B faites passer 

 deux coniques quelconques (évidemment encore deux systèmes 

 de droites si les deux points doubles A, B sont réels). Joignez le 

 point P aux cinq points 1 , 2, 5, 4, y. Ces droites déterminent 

 sur les deux coniques cinq involu lions; prenez respectivement 

 les points 1', 2', 5', 4', 5' homologues a 1 , 2, 5, 4, 5, et faites-y 

 passer une conique: la courbe proposée estl'arguesienne de cette 

 conique. 



14. Ces digressions posées, arrivons à la démonstration des 

 deux théorèmes fondamentaux; la démonstration pour l'un d'eux 

 suffira, l'autre lui étant identique. Nous démontrerons le premier. 



la. Ordre de l'arguesienne D. — Pour l'obtenir, coupons-la 

 par une sécante quelconque ï' et cherchons le nombre de points 

 de rencontre. Ces points sont évidemment les points homologues 

 aux points d'intersection des deux lieux géométriques suivants : 



1" La courbe I; 



2° La courbe du troisième ordre D' arguesienne de la sé- 

 cante z'. 



Or, ces deux courbes se coupent, d'après le théorème de Be- 

 zout, en 3m points; l'arguesienne D est donc de l'ordre 3m; 

 mais D' passant par les quatre points A, B, C, D et ayant pour 

 point double le point P, il s'ensuit que parmi ces 5m points il y 



en a 



a-4-6H-c-t-d-+-2p 



qui sont fixes , et auxquels correspondent respectivement les 

 points d'intersection de la sécante s' avec les quatre droites P A, 

 PB, PC, P D et avec la conique déterminée par les cinq points 

 A,B, C,D,P;donc les quatre droites PA, PB, PC, PD et la 

 conique A, B, C, D, P font partie de la courbe et cela un nombre 

 de fois marqué respectivement par les nombres 



«, 6, c, (/, p, 



ce qui fait que l'ordre de D est à proprement parler 



3m — (a •+- b + c -4- d 4- 2p). C. Q. F. D. 



