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PC, PD, que l'on sait faire partie de la courbe un nombre de 

 fois marqué par les nombres respectifs 



rt, 0, c, d. 



Ainsi, l'ordre de multiplicité du point P est 



:2m — {a -\~ b -\- c -\- d -\- p) ; 



ce que l'on savait déjà , et l'étude de ses affections est ramené à 

 l'étude de l'intersection de S et w. 



IV. - DETERMINATION DES CONIQUES OSCULATRICES 

 EN UN POINT DONNÉ. 



24. Détermination du cercle osculateur. — Soient u- un point 

 de 2,-//0 le cercle osculateur en ce point; cherclions le cercle 

 osculateur au point correspondant 31 de D. A cet effet, imaginons 

 la conique passant par P, A et osculatrice en p au cercle p.O; il est 

 évident que le cercle cherché est le cercle oscillateur au point M 

 à la courbe du troisième ordre à point double, arguesienne de 

 cette dernière conique (8). 



Remarque. — Nous verrons, dans la deuxième partie de ce 

 mémoire, comment on obtient le cercle osculateur, la parabole 

 osculatrice, la conique surosculalrice en un point quelconque de 

 la courbe du troisième ordre à point double. 



25. Détermination de la pararole osculatrice. — Soient /u. un 

 point de 2 , p L la parabole osculatrice en ce point ; cherchons la 

 parabole osculatrice au point correspondant M de D. A cette effet, 

 imaginons la courbe du troisième ordre qui a pour parabole oscu- 

 latrice, au points, la parabole pL, et pour laquelle le point P est 

 un point double et deux des points A, B, C, D sont des points 

 simples; la parabole cherchée est la parabole osculatrice au point 

 31 à la courbe du troisième ordre à point double, arguesienne de 

 cette dernière courbe (8). 



Remarque. — Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous 

 montrerons comment on peut construire une courbe du troisième 

 ordre ayant un point double donné, passant par deux autres 



