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i° Que, dans la détermination de ces courbes il est permis de 

 supposer que plusieurs des points donnés sont imaginaires par 

 couples; ou bien que plusieurs points sont infiniment voisins 

 dans des directions données, ce qui implique des conditions de 

 contact, môme d'ordre supérieur. Par exemple, on peut demander 

 que la courbe soit tangente à une ou plusieurs droites en des points 

 donnés; qu'elle ait des points multiples réels ou imaginaires et 

 que ses tangentes en ces points soient données, ou qu'elle ait 

 des contacts du deuxième, du troisième, du quatrième et même 

 du cinquième ordre, avec une section conique en des points 

 donnés. 



2° Que, pour toutes ces courbes, on saura construire par la 

 règle et le compas, et indépendamment de leur tracé, la tangente 

 en un point quelconque, le cercle oscillateur, la parabole oscula- 

 trice, la conique surosculatrice; on saura déterminer à priori les 

 genres auxquels appartiennent les points multiples et trouver les 

 tangentes en ces points. 



X. - APPLICATION DU PRINCIPE DE GÉNÉRATION A LA COURBE 

 DU QUATRIÈME ORDRE DÉPOURVUE DE POINT MULTIPLE. 



57. Il a bien été donné pour la courbe du quatrième ordre, 

 déterminée par quatorze points, une construction qui ne néces- 

 site que l'emploi de la règle et du compas (*); mais comme elle est 

 sans continuité, il serait peut-être à désirer d'en posséder une 

 nouvelle qui remplit toutes les conditions d'une bonne construc- 

 tion. Quoi qu'il en soit, voici les nouvelles courbes, qu'en somme 

 on peut affirmer savoir construire par la règle et le compas. 



Courbe du cinquième ordre, affectée de trois points doubles (**). 



(*) Voir Mémoire de M. E. de Jonquière, p. 197. 



(**) Cette courbe pouvant être construite à l'aide de la courbe du quatrième 

 ordre dépourvue de point multiple, et réciproquement de sa construction 

 résultant celle de la courbe du quatrième ordre, il se trouve démontré une 

 fois de plus la vérité de ce pressentiment de Newton, que les générations des 

 courbes à points multiples devaient offrir de moins grandes difficultés que 

 celles des courbes qui en étaient dépourvues ; mais il est aussi démontré que 

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