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52. CONSÉQUENCES CAPITALES DE CES RÉCIPROQUES. — De CCS SIX 



théorèmes réciproques résultent ces deux conséquences capi- 

 tales : 



1° Dans les six cas, la construction de l'une des surfaces 2 ou 

 1) se ramène à la construction de l'autre. 



2° Il leur faut, en dehors de l'intersection I, qui est générale- 

 ment déterminée par huit points, et du point P, le même nombre 

 de points nécessaires pour le déterminer. 



Pour mieux fixer les idées, nous allons considérer six exem- 

 ples : 



Premier exemple. — Supposons que l'on prenne, d'après le 

 théorème (45), l'arguesienne d'un plan 2 qui ne passe pas par le 

 point P. 



Ce théorème montre que l'arguesienne est une surface du troi- 

 sième ordre, affectée de la courbe à double courbure I pour ligne 

 simple et du point P pour point double. 



Mais la réciproque de ce théorème montre que l'arguesienne 

 d'une surface du troisième ordre, affectée dune courbe à double 

 courbure I, du quatrième ordre, et d'un point double P, est un 

 plan qui ne passe pas par le point P; donc, un plan étant déter- 

 miné par trois points, il s'ensuit que : trois points simples, ajoutés 

 à la ligne I et au point P , sont nécessaires et suffisants pour 

 déterminer une telle surface du troisième ordre (*). 



(*) Ce raisonnement va nous faire découvrir une infinité de théorèmes , sur 

 lesquels nous appelons l'attention ; nous n'en citerons qu'un seul : on obtiendra 

 tous les autres d'une façon semblable. 



« Donner une courbe 1 d'une surface du troisième ordre, c'est donner treize 

 » conditions, car si on cherche l'équation aux coordonnées des points d'inter- 

 » section de la surface de celte ligne , elle est du douzième degré et doit être 

 » identique. 



» D'un autre côté, donner un point double P et trois points simples 1, 2, 5, 

 * c'est donner sept conditions. Or, une surface du troisième ordre est déler- 

 « minée par dix-neuf conditions, donc : Théorème, les vingt équations de 

 » conditions précédentes se réduisent à dix-neuf. « 



Nota. — Ce théorème nous rappelle ce que nous faisait si judicieusement 

 observer notre éminent professeur, M. Vazeille, dans ses remarquables con- 

 férences, à l'institution Harant, à l'occasion de résultats obtenus d'abord par 



