(48 ) 



De là , la génération suivante de la surface du troisième ordre, 

 affectée d'une courbe à double courbure 1 du quatrième ordre, 

 d'un ]>oint double P et déterminée par ces éléments et par trois 

 points simples 1,2,5 (*). 



Par la ligne I faites passer deux surfaces quelconques du second 

 ordre S„ S*. Joignez le point P au trois points 1,2, 5 ; ces droites 

 déterminent sur les deux surfaces S,, S 2 trois involutions; prenez 

 respectivement les points i', 2', 5' homologues à I, 2, 3; consi- 

 dérez le plan déterminé par ces trois nouveaux points; la surface 

 proposée est l'arguesienne de ce plan. 



Deuxième exemple. — Supposons que l'on prenne, d'après le 

 théorème (46), l'arguesienne d'un plan 2 qui ne passe pas par le 

 point P et qui ne contient pas la droite \ d . 



Ce théorème montre que cette arguesienne est une surface du 

 troisième ordre affectée de la droite l d pour droite simple et de la 

 cubique \ g également pour ligne simple; d'ailleurs le point P est 

 toujours un point double. 



Mais la réciproque de ce théorème montre que Targuesienne 

 d'une surface du troisième ordre affectée d'une courbe à double 

 courbure du quatrième ordre I rf , ]„ et d'un point double P, est un 

 plan qui ne passe pas par le point P; donc, un plan étant déter- 



les méthodes géométriques de Poneelet et M. Chasles, et dont il nous donnait 

 la traduction analytique: (Il se trouve ainsi prouvé une fois de plus, disait-il, 

 que les principes des deux plus illustres propagateurs de la géométrie pure, 

 ont conduit et conduisent encore souvent à leur manière à faire de l'algèbre; 

 la forme ne fait rien à l'affaire; d'ailleurs, ajoutait-il, la possibilité de repro- 

 duire leurs conséquences sous des formes algébriquement élégantes et simples 

 est un moyen aussi de les propager et de montrer la haute valeur scientifique 

 de ces deux célèbres géomètres qui font la gloire de la France, sans rien em- 

 prunter aux étrangers. 



(") On pourrait peut-être objecter que cette surface, comme toutes celles 

 que donne le principe , ne sont pas, à proprement parler, définies par des 

 points; celle objection ne serait qu'apparente, puisque l'on sait déterminer 

 la courbe I lorsqu'on en donne huit points. 



Nota. — Cette circonstance ne se présente pas dans le second mode de 

 transformation dont nous avons parlé dans l'Introduction; elle conduit à des 

 surfaces essentiellement déterminées par des points simples et multiples. 



