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Surface du troisième ordre affectée d'un point double, d'une 

 conique, et déterminée par ces éléments et par huit points simples. 



Surface du quatrième ordre affectée d'un point double, d'une 

 conique double et déterminée par ces éléments et par neuf points. 



Cinquième exemple. — L'application du théorème (49) au plan 

 conduit à Ja construction de la surface suivante : 



Construire la surface du troisième ordre, qui contient quatre 

 droites formant un quadrilatère gauche donnée, affectée d'un 

 point double donné , et déterminée par ces éléments et par iïois 

 points simples (*). 



Sixième exemple. — L'application du théorème (50) à la surface 

 du second ordre, conduit à la construction de la surface du qua- 

 trième ordre, affectée d'un point double, de deux droites doubles 

 qui se coupent, et déterminée par ces éléments et par neuf points 

 simples. 



III. — PRINCIPE DE GÉNÉRATION. 



53. Un raisonnement identique à celui qui a été fait dans le n° 20 



montre que chacun des six théorèmes fondamentaux précédents 

 conduit à ce principe : 



Étant donnée une surface géométrique d'ordre m, susceptible 

 d'être construite géométriquement; elle permet d'en engendrer 

 une infinité d'autres (l'ordre de ces dernières peut d'ailleurs 

 dépasser tout nombre donné). 



Nota. — Nous croyons inutile d'en énumérer de nouvelles 

 applications. 



IV. — APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AUX SURFACES 

 DÉTERMINÉES PAR DES PLANS TANGENTS. 



54. Tous les résultats précédents se transforment naturelle- 

 ment et sans difficulté, par le principe de dualité. On obtient 



O II esl bien entendu que lorsque la courbe I se composera d'un quadri- 

 latère gauche A, 13, C, D, on devra prendre pour surfaces de référence , les 

 l'acte du tétraèdre déterminé par les quatre sommets A, B, C, D. 



