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ments seront les mêmes qu'avant l'adjonction de f^^y = «i? puis- 

 que cette relation, prise à part, est satisfaite parles coordonnées 

 d'un élément quelconque de l'espace, a étant arbitraire. 



On peut adjoindre, de la même manière, au système primitif 

 les autres équations f= a, et obtenir ainsi le système (/*) ou (F), 

 à la place du système primitif. Si l'on fait varier, dans les équa- 

 tions (F), X,, ... , x„, de quantités infiniment petites, en laissant les 

 quantités a constantes, ;::, pi, ... ,p„ varient aussi infiniment peu. 

 Donc les éléments infiniment voisins du système (F) sont infini- 

 ment peu différents et constituent une intégrale pour chaque 

 valeur des quantités a. Donc j:; = F est l'intégrale complète com- 

 mune et l'on a 



OU 



rfF = Fida;iH hF„c?^„. 



11 résulte de la dernière observation, que l'on peut trouver la 

 première équation (F) en intégrant l'équation 



dz = pidœ^ H H PndXn , 



où les quantités p sont remplacées par leurs valeurs déduites 

 des n premières équations /*. Ceci suppose toutefois que l'on 

 sache qu'il y a réellement une intégrale complète commune avec 

 k constantes arbitraires, ce qu'apprend la méthode de Lie. 



Remarque. Ce qui précède contient essentiellement la méthode 

 de Jacobi, c'est-à-dire le mode de détermination de z, au moyen 

 des fonctions f; le théorème de Poisson et Jacobi , et les mé- 

 thodes de Weiler, de Boole et de 3ïayer donnent les moyens de 

 trouver les fonctions f, avec plus ou moins de facilité. 



134. Conclusion. Les diverses méthodes d'intégration des 

 équations aux dérivées partielles se groupent autour des mé- 

 thodes de Cauchy, de Lie et de Jacobi. On vient de voir que la 

 dernière consiste essentiellement en une transformation du sys- 

 tème donné en un autre contenant une équation de plus. Si l'on 



