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considérées. Par chaque élément de la congruence caractéristique 

 ainsi obtenue, passe une caractéristique de 'P , située dans toutes 

 les solutions communes et dans toutes les équations, et ainsi de 

 suite. Donc enfin, si m équations ont des solutions communes 

 passant par un élément A, elles ont oo'" éléments communs à 

 toutes ces solutions communes. L'ensemble de ces éléments com- 

 muns s'appelle la variété caractéristicpie de ces équations. 



CoROLLAUtE 1. On prouverait aisément, comme au n° 128 , que 

 deux solutions communes d'un système ont en commun une 

 variété caractéristique. 



Corollaire II. Considérons deux équations simultanées /'= 0, 

 f = 0, ayant une solution commune. Les caractéristiques de /"et 

 de j, en un élément commun à cette solution et aux équations 

 données , doivent se trouver resj)ectivement parmi les éléments 

 de f = 0, et de f== 0. Il en résulte que y = doit être une solu- 

 tion des équations (8), et /"= 0, une solution des équations ana- 

 logues où j remplace /'. On a donc 



relation que nous écrirons simplement /"^ = 0. C'est la condition 

 d'intégrabilité simultanée de Jacobi et de Bour. La remarque pré- 

 cédente s'appliquant à autant d'équations que l'on veut, permet 

 de compléter tout système d'équations simultanées, comme on l'a 

 vu (n" 79). 



13^. Méthode de Lie (*). Si deux équatio?îS f = 0, satisfont 

 à la coïidition ï'j = 0, le lieu des congruences caractéristiques 

 qui passent par un point commun constitue une solution com- 

 mune. En effet, d'abord , ce lieu se compose de oo"~^ congruences 

 caractéristiques contenant chacune oo^ éléments, donc, en tout oo'' 

 éléments. Pour le prouver, il suffit de remarquer que par le point 

 donné [zq, xJ, passent oc"~^ éléments communs aux deux équa- 



(*) Mémoire B, seconde partie du ihéorènie II; mémoire C, seconde partie 

 des théorèmes b et c. 



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