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c la caractéristique qui passe par B. Appelons C l'élément de cette 

 caractéristique qui passe par c. Si l'élément B converge vers 

 l'élément A, c converge vers a, dont il est, par suite, infiniment 

 rapproché, ainsi que de 6. Il en résulte que les coordonnées de 

 l'élément C ne peuvent différer qu'infiniment peu de celles de B 

 ou de A, Représentons-les par 



(:; -4- A'z, Xi -t- ^'Xi, Pi H- ^'pi), 

 et posons 



^z = A'z -+- à"z, ^Xi = ^'xi H- à"Xi. 



Puisque A et c appartiennent à une même solution, on a 



A'Z = Pi^'Xi H h Pn^'Xn + £, 



£ étant infiniment petit du second ordre. De même 



à''z = {pj^ -+- A'Pi) A^a?! H h {pn + A'Pn) A"a7„ H- t', 



f' étant aussi du second ordre, parce que B et C appartiennent à 

 une même caractéristique. Ajoutons ces deux relations, il viendra 



A^ = PiA5iH h p„Aa;„ -t- t", 



f" étant infiniment petit du second ordre. Donc, enfin, en pre- 

 nant la différentielle de z, 



dZ = PiAXi-{ h Pn^SCn , 



ou 



dZ = p^dXi H h PndXn , 



ce qu'il fallait démontrer. 



Nous appellerons éléments mfiniment peu différents ceux qui 

 jouissent (le la [)ropriété dont il est question ici. 



11 résulte de là que, pour trouver une intégrale de f = 0, il 

 faut et il suffit de trouver oo" éléments infiniment peu différents 

 (..« 5). 



