( 273 ) 



qui n'en diffère pas essentiellement; 2° à la modification apportée 

 par Mayer à l'une et à l'autre. 



130. Propriétés de deux éléments infiniment peu diffé- 

 rents (*). Soit 



une solution de l'équation f= 0, de sorte que l'on a, entre deux 

 éléments infiniment voisins , la relation 



dz = p^dx^ -4- h p„dXn ; 



autrement dit, Ton a : 



Si Ton fait varier infiniment peu Xi,...,x„, les quantités 

 z, /)i, ..., p„ varient aussi infiniment peu. Donc deux éléments 

 infiniment voisins d'une intégrale, ou passant par des points 

 infiniment voisins, ont des coordonnées tangentielles infiniment 

 peu différentes, ou sont infiniment peu inditiés V un sur l'antre. 

 La réciproque de ce théorème est vraie : deux éléments infini- 

 ment voisins et infiniment peu inclinés l'un sur l'autre sont tels 

 que l'on a 



dz = PidXi -4- • • • -t- P„dXn' 



Soient, en effet, A et B deux éléments infiniment voisins et infi- 

 niment peu inclinés l'un sur l'autre : 



(z, Xi, Pi) et (:; -\- àz, x, h- ^Xi, pi h- Api), 



Az, Ax,, Api étant infiniment petits. Appelons a et b les points 



(:;, Xi) et (z -h \z, xi -t- atj) 



Par le point a passe une solution de Caucliy, formée de toutes 

 les caractéristiques contenant ce point, et rencontrant en un point 



(*) Noiis n'avons pas rencontré explicitement celle propriété dans les écrits 

 de Lie. Le théorème corrélatif de Majer (n" 129, fin) peut fournir une dé- 

 monstration dans les cas où ne subsiste pas le théorème équivalent à la 

 méthode de Cauchy. 



