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éléments satisfaisant d'ailleurs à l'équation (4). C'est en expri- 

 mant les conditions que nous venons d'énoncer que Cauchy a été 

 conduit aux équations différentielles de cette série d'éléments, 



savoir : 



dXi dz — dpi 



dPi ^pi àXi dZ 



(8) 



Parmi ces éléments doit se trouver l'élément initial : 



Nous représentons les intégrales du système (8) par les équations 



S=/'«, ^i = /"o Pi=fn-hi, (10) 



les fonctions f dépendant de x„, et des valeurs initiales des 

 variables. 11 faut remarquer que x„o est une constante supplé- 

 mentaire et que p„o est une fonction des autres valeurs initiales, 

 donnée par la relation (7). 



Nous pouvons donc énoncer ce théorème: Toutes les intégrales 

 de V équation (1) qui ont en commun Vêlement (9), ou qui 

 se touchent au point 



ont en commun une série tVéléments donnés par les équations (8) 

 ou (10); autrement dit, elles se touchent le long d'une ligne 

 représentée par les n premières équations (iO). Lie a appelé carac- 

 téristique de f, Tensemble de ces éléments communs (*). 

 Corollaire. Deux solutions 



d'une même équation f=Oj ont une caractéristique commune. 

 En effet, des relations 



JF S^ S¥ S^ 



F — «I>. 



$Xi SXi Sx„_i BXn~\. 



{*) Mémoire B, théorème I"; mémoire C, théorème a, p. 525. 



Tome XXV. 19 



