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II. Les conditions d'intégrabilité (31), écrites au moyen de; 

 fonctions K et H, prennent la forme suivante : 





i^'_ ^' y /^' ^ _ ^ ^A ( — 



Si l'on fait décroître indéfiniment vers zéro, dans ces équations, 

 les quantités 1/, ou si l'on fait converger chaque quantité i vers 

 la valeur arbitraire fo? on verra que l'on peut égaler à zéro, dans 

 l'équation précédente, l'expression qui ne contient aucun w en 

 facteur, et le coefficient de chacun des u. On a donc : 



Sti S y VXk^2-)k ^Pk^Xkj 





\SxkSpk ^Pk^Xkj 



Toutes les conditions d'intégrabilité du système des équations (25) 

 et (24) sont donc équivalentes aux conditions (54) et récipro- 

 quement. Ainsi s'explique ce pai-adoxe, que les équations (5i), 

 parmi les conditions d'intégrabilité du système des équations (25') 

 et (26'), soient seules utilisées dans ce qui précède. 



III. D'après la remarque II du n° 55, le système intégral des 

 équations (52) peut être représenté par les relations suivantes: 



«1, ... , a„_i étant des constantes, respectivement égales à pio, ..., 

 7?»-i,05 comme il est facile de le voir. Sous celte forme, on 

 voit que le système intégral des équations (52) est aussi celui 

 des équations analogues, obtenues en remplaçant y par «,, et / 

 par fi. Cette remarque est très-importante dans Texposé de la 

 méthodie de Lie, d'après les écrits du géomètre norwégien lui- 

 même.l 



