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Cherchons maintenant la même quantité, au moyen de l'expres- 

 sion (55) de z. Il viendra, en supprimant sous le signe d'intégra- 

 tion les termes qui se détruisent, 



dUi clUi'^J V dui SxkSuij J Sui 



On peut effectuer les deux intégrations ici indiquées, en se ser- 

 vant des conditions d'intégrabilité (oi) et exprimant que les équa- 

 tions (55) et (54) satisfont aux équations (32). On a, en effet. 



^■=i^, ^=_ IL. 



Sy ^pk ^y ^Xk 



Par suite , 



dUi Sxk ^Ui dUi Sy Sui dy\ Suij 



et la condition d'intégrabilité (5l) devient, en se servant de la 

 notation /"*, pour f où l'on a substitué les valeurs (53) et (54), 

 des a? et des p : 



Sui Sy 



\Spk ^y ^JOk Sy I 



dy - dy 



Effectuons les intégrations indiquées plus haut. Il vient : 



dUi dUi ^Ui \ Suilo " "" 



Pour y=^yo, fi, qui contient (î/ — î/o) en facteur, s'annule et —- 

 aussi, parce que Xk se réduit à x^o, pour y = y^. Donc enfin 



dUi dUi Sui " 



