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ceci : il existe une solution de Téquation (25) qui est en même 

 temps une solution des équations (26), On peut établir directe- 

 ment ce théorème par la méthode de Cauchy. 

 Écrivons comme suit les équations (25) et (26) : 



q-\- f {œi,...,œ„-i,y,Ui,...,u,n,Pi,...,Pn-i) = 0, . • (25') 



^-i-fi{Xi,...,œ„_i,y,Ui,...,it,n,Pi,-'-7Pn-i) = 0,. . (26,-) 

 dui 



Parmi les conditions d'intégrabilité simultanée de ce système, se 

 trouvent m équations qui sont représentées par la suivante : 



£L_i^H-2(^^-iLi^Uo (M) 



^Ui Sy \^Xk Spk Spk Sxkj 



La méthode de Cauchy appliquée h l'équation (25') conduit à la 

 considération du système auxiliaire : 



. _ _te_ _ ^^ _ _ — dpk _ 



$Pk ^'' Spk ' Sxk 



On déduit de là le système intégral : 



^* = %A(2/î^iO.---,^n-l,0,Pio) ••• jP^-l.OjWi,... ,t/J, . . (33) 

 Pa = Fa (^,^lOî-- ,^«-i,o,Pio, ••• ,Pn-i,o,Wi,...,w„,), . . (34) 



z = z,-^J (ip.^-^) 



(35) 



Xio,..M^n-i, ,5Pd0 5 --jP»- 1,0 étant les valeurs initiales des variables 

 pour y = y^, et z^ étant une fonction quelconque des ii qui con- 

 tient une constante arbitraire z'q. Sous le signe d'intégration, 

 on suppose les p^ et les x^ remplacés par leurs valeurs (35) et 

 (34). 



Eliminons p^Q, ...,Pn-i,o entre les équations (33) et (35). Nous 

 trouverons une solution 



Z = 2'o + F(a;i,... ,^,._i,î/,a;io,-.- ,^»-i.O)Wi, •■.,Wm) • • (36) 



