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Comme on le voit, rintégration du système (25) (24) est ramené 

 à celle de l'équation unique (2o), puisque de son intégrale (27), 

 on déduit l'intégrale (30) du système transformé (29). De l'inté- 

 grale (30) on déduit une autre intégrale quelconque, par le n° 120, 

 puis l'intégrale des équations données par le n° 421 (*). 



125. Mode iV a])plication de la méthode de Lie. Etant donné 

 un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre 

 à intégrer, on le ramène par la théorie précédente à une équation 

 unique, Hi = 0. On cherchera, comme dans la méthode de Jacobi, 

 une fonction H2 des x et des p telle que (H^, Hj) = 0. Au moyen 

 de H2 = «25 on pourra ramener H, à contenir un p de moins. On 

 traitera cette nouvelle équation comme la première, en profitant, 

 à chaque nouvelle intégration, de la remarque suivante : chaque 

 fois que l'on rencontre le cas le plus défavorable de la méthode 

 de Jacobi, on emploie celle de Cauchy, et l'intégration est immé- 

 diatement terminée (**). 



Comme on le voit, la méthode de Lie ramène sans cesse l'inté- 

 gration à celle d'une équation unique, la méthode de Cauchy et 

 celle de Jacobi servent ensuite à efîecluer l'intégration avec le 

 plus de facilité possible. 



126. [Démonstration directe du théorème fondamental de Lie, 

 par la méthode de Cauchy (***). Le théorème du n" 124 revient à 



(*) Mayer énonce sans démonstration le théorème de ce numéro, dans le 

 cas ou m = \, Nachrichten de Goliingen, 1872, pp. 469 et 472. [Démonstra- 

 tion dans le mémoire cité (Math. Ann. t. VI, pp. 183-189), § 7, tliéorèmes VIII 

 et IX. Maier applique la méthode aux équations linéaires homogènes, § 8, 

 pp. 189-192. Les §§ -4 et S, pp. 179-183, sont consacrés au cas de deux équa- 

 tions , dont il est inutile de s'occuper spécialement .] 



C'*) Lie, ï6/cZ,, pp. 488-489. Il est étonnant qu'une remarque aussi simple 

 ait échappé à tous les géomètres, avant Lie. 



(***) Mayer, Directe Ableitung des Lie'schen FiindamentaWieorems durch 

 die Méthode von Cauchy (Math. Ann., t. VI, pp. 192-196) et § I de la note 

 plus générale, intitulée : Zur Intégration der partieller DiffercntiaJgleichung 

 erster Ordnung (Nachrichten de Gôltingen, 1873, pp. 299-310).Mayer se sert 

 de la valeur de Zq indiquée au n" IH pour éviter les cas d'exception. Il laisse 

 quelques points de son exposition sans démonstration explicite. 



