( 2o4 ) 

 Pour Xi = Xio, ... , x„ = x„o 5 ^ = ^0} on a w = 1 . Donc 



J xdx 



Dans le cas où l'on a w = oc , au lieu de w = 1, pour x,^ = x^q, 

 on n'est plus sûr que I = 0, en même temps que Iq. Dans le cas 

 où I est nul malgré cette circonstance, il y a encore une solution. 

 On reconnaît, comme dans les cas précédents, qu'elle est donnée 

 par l'intégrale complète, ou une intégrale intermédiaire entre 

 celle-ci et l'intégrale générale , et non par l'intégrale générale 

 même (*). 



[Remarque. Si l'équation 



■£-i-n{t,œ,,...,Xn,P,,....Pn) = (21) 



dt 



conduit à des équations auxiliaires ayant pour solutions les rela- 

 tions (14), on trouvera, par le n° lli, II, pour intégrale de cette 

 équation semi-linéaire (21) : 



2 = 4^-Pl0'^l-» hpm-l,0^m-l-4-V, (22) 



V étant la valeur de z déduite de (14^). Dans le cas actuel z 

 n'entre pas dans les équations (14,), ... , (14^_i). L'intégrale (22) 

 a été signalée par Darboux (voir n*' ill, II).] 



(*) Comme on le voit, la méthode générale de Cauchy est préférable à 

 celle de Serret dans l'exposition de ce cas remarquable, surtout, quand on 

 introduit dans cette théorie les idées de Lie sur les équations semi-linéaires. 



