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119, Cas des écpiations semi-linéaires. Occupons-nous, en 

 second lieu, du cas des équations semi-linéaires. Les relations (5), 

 par élimination des po, donnent m relations entre les variables et 

 leurs valeurs initiales (n° 14, III et 109, IV). On peut alors consi- 

 dérer comme intégrale les relations en question, que nous sup- 

 posons mises sous la forme : 



Zo = 4'm{Z.X,,...,X,^,X,„o,...,Xn-l,0) (14J 



On peut remplacer (n° 45) cette intégrale par la suivante : 



>AH H >«-l4'm-l — -i-m = 0, (13) 



>i, •••, Ki-i étant des constantes arbitraires, ou encore par 



F(3, a7i,...,a;„, >i,...,>m_i,a7,„o,... ,a7„_i,o) = 0, . . . (16) 



en représentant le premier membre par un seul signe fonc- 

 tionnel. Les valeurs des p sont données par les équations : 



ou 



(17) 



On trouve une intégrale générale, en égalant à 0, la dérivée 

 de F par rapport aux constantes Xq. On trouve ainsi les équations 

 suivantes : 



,,f^+... + i„.,£|=zA_^J^ = (18) 



Les équations (M), (17), (18) remplacent complètement le sys- 

 tème (5) et permettent de calculer tt, comme l'a montré Serret, 



