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 on a : 



,Xr 



TTdx ^jyi 



I = V"° =1,-—, 



ce qui est la formule de Serret. 



118. Examen du cas critique par Serret. Supposons que la 

 fonction « ait été choisie de telle sorte que 



— = constante différente de l'unité (12) 



pour x„ = x„o. Il se peut qu'il existe une solution de l'équation 

 (1), telle néanmoins que pour Xj =Xiq,x^ = x^q, ..., x,j = a;„05on 

 ait z = Zo = f [xiQ, X20, ..., x„_i,o)- Dans ce cas, je dis que cette 

 solution n'est pas l'intégrale générale correspondant aux équa- 

 tions (8) (9) (10), mais est l'intégrale complète, ou une autre 

 solution intermédiaire entre l'intégrale générale et l'intégrale 

 complète. 



En effet, lorsque les circonstances précédentes se présentent, 

 les équations (10), à cause de l'équation (12), ne peuvent pas 

 donner x^ = x^o, ... , x„_i = x„_i^q quand x^ = x„,0) car cela 

 présuppose, en général, |^= 1. On doit donc admettre que pour 

 x„^ x„Q, ces équations sont identiquement satisfaites, quels que 

 soient x^, X2,..., x„_,, soit en restant distinctes, soit en se rédui- 

 sant à un nombre m moindre que (n — 1). 



Considérons d'abord le premier cas. Supposons identiquement 

 nuls, pour x,^ = XnQ, les premiers membres des équations (10). Il 

 faut en conclure, que (;:; — M) ne contient pas x^o, x^o, .••? ^«-i,o 

 quand x^ = Xnù, car les premiers membres des équations (10) 

 sont les dérivées de {z — M), par rapport à x^Q, ... , x„_ ,,0 • Cepen- 

 dantz — M = 0, pour Xi = Xio,-.-,a(;„ _i = x„_i,o, donnez =Zo = 

 f{xio,...,x„_i^o) si x„ = x„o. Donc, pour x„ = x„o, on a 



Z = <P (^1, ^2î •••) ^«-O- 



Considérons maintenant le cas où les équations (10) se réduisent 



