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Ainsi ?/o disparaît de léquation (6) quand on fait x = Xq. Mais 



l'équation (C) est la dérivée de l'équation (4) par rapport à y^. 



Donc ?/o disparaît aussi de l'équation (4) quand on fait x =Xq, 



puisque la dérivée du premier membre de (4), c'est-à-dire le 



premier membre de (6) est identiquement nul pour x = Xq. Mais 



nous savons que l'équation (4), pour x = Xq, y = yo donne 



Zq = oyo', donc pour x = Xq simplement, elle donne z = oy. 



Dans le cas actuel, la fonction z^^^yQ est donc telle que la 



solution 



s = M 



donne z = fy, pour x = Xq, sans qu'il soit nécessaire d'éliminer 

 î/o entre cette équation et l'équation (6) ; ce qu'il fallait démontrer. 

 Autrement : dans le cas, le seul important, pour la théorie 

 qui nous occupe , où |^ = pour x = Xo, on a aussi, à cause 

 de l'équation (6), t- =0, et, par suite, pour x = Xo, y^ n'entre 

 plus dans l'équation (4). Ce raisonnement est plus simple que 

 celui de Serret, et s'applique à des fonctions qui, pour x = Xo, 

 y ==yQ, ne donneraient pas -^^ = i. 



115. Exemple. Soit l'équation 



pqy — 2)Z-{-aq = 0, 



a étant une constante. Les équations auxiliaires 



— j^clx qdy dz dp dq 



aq pz pqij p^ 



ont pour intégrale 



z = R[Zo {Zo — quo) + aq, [œ - x,)] , 



R étant défini par la relation : 



j = \/(-o - gyo? + 2ago {x - X,) . 



