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Ta montré Serret. Les raisonnements de ce géomètre s'appliquent, 



non-seulement au cas où 



m 



est infini, mais encore à tous les cas, où cette expression, pour 

 x = Xo, prend une valeur différente de zéro, (|j) étant différent 

 de l'unité, pour x = Xq. 



Soit, en effet, pour x = x^, 



m 



— - = constante différente de l'unité, 



et supposons que s = M , pour x = x^, devienne z = fy, ou encore 

 que pour x = Xo,y==yo,on ait Zo= fi/o* Les équations (5), ou les 

 équations (4) (5) (6), doivent donc être identiquement satisfaites 

 pour ces valeurs. Or, si Ton suppose 



,^ = ^0, ?y = ^o» -o='f!/o, 



dans l'équation (6), celle-ci ne peut pas être satisfaite, à moins 

 qu'elle ne le soit déjà pour 



quelque soit y. En effet, s'il en était autrement, on tirerait de (6) 

 la valeur y = î/^, après substitution de 



X = X(^, ^-Q = ff/Q , 



Or, pour qu'il en soit ainsi, il faut que l'on ait, pour x = ûc^,y 

 t- = 1, ce qui est contraire à l'hypothèse (*). 



(*) Ce raisonnement n'est vrai qu'en général. On admet que la fonction M 

 est telle, que Ton ne puisse y faire x = Xq, y=:yQ^ sans que l'on ait, non- 

 seulement M = z-Q, mais aussi 4^= 1. La valeur de ^ est donnée par 

 réqualion (6); donc l'équation (6) doit conduire à la relation ^ = 1 , pour 

 x = œQ,y = ijQ^ sauf les cas oii y^ n'existe pas dans cette équation. Serret 

 est peu précis dans les raisonnements qui se rapportent à ce cas critique, qui 

 a besoin encore d'être étudié plus à fond. 



