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ai, ..., a„ étant n constantes. Eliminons entre les équations (15i),..., 

 (15„), (20) et (21) les quantités Zo» ^o et po? on trouvera 



F(:r,a;,,...,a:'„.a„...,O = 0, (22) 



relation qui sera une nouvelle intégrale complète. Le système des 

 équations (15i),...,(i5J (20) (21) peut être remplacé par (i3i),..., 

 (1d,J (21) (22). Si donc l'on fait x„= x^o, et, par suite, si les équa- 

 tions (15) donnent Xi = XiQ, ..., x^-i = ^«-i,05^ = ^o? l'équation 

 (22) conduira à la relation 



2o = f (^10, •••.^»-i.o,^i,. ..,«„) (20) 



Donc, si l'on faisait simplement x„ = x„o dans (22), on trouverait 



^ = F (^1 ) • • • j ^n-i j *1 j • • • 5 '^n) ' 



Ainsi l'intégrale complète en question se réduit à la fonction 

 y (a;i, ... , a:„_i, aj, ... , «„), pour x„ = a:„o (*)• 



[II. On peut encore satisfaire aux équations (4) en posant : 



et regardant Xio, ... , x,„o, Pm+i,o, ... ■,Pn-^,o comme étant les u, 

 Pio, ... , Prno, a:^4-i,oî — , ac„_i,o , z'o les constantes (**)•] 



(*) Mayer expose directement ces remarques au moyen de la méthode de 

 Pfaflf modifiée par Jacobi. Il donne plusieurs théorèmes intéressants sur la 

 liaison des intégrales entre elles (voir le n° 120, note). [On voit que la méthode 

 de Cauchy, exposée dans toute sa généralité, comme nous l'avons fait plus 

 haut, contient implicitement la modification de Mayer.] 



[(**) Darbolx (Comptes rendus, 1874, t. LXXIX, pp. 1488-1489, 1875, 

 t. LXXX, pp. 160-164) a le premier signalé cette intégrale, mais seulement 

 dans le cas des équations semi-linéaires (voir n" 119). Il expose aussi ses 

 recherches au moyen de la méthode de PfafF modifiée par Jacobi.] 



