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109. Remarques. I. Si l'équation donnée est linéaire et de la 

 forme : 



les n premières équations auxiliaires sont celles de Lagrange : 

 dXi dXn dz 



X^"'~x^~'z 



Elles -suffisent pour résoudre complètement le problème (§ 6). 



II. Si les n premières équations (13) ne contiennent pas lespo? 

 on en déduira : 



i2?io = ^i(-»^n-î^«)'-"'^n-i,o=^«-i(s,a;i,...,a7„),S(,=J^„(5,a?j,...,a;„), 



ce qui donnera l'intégrale 



qui appartient à une équation linéaire. 



III. En exprimant que les valeurs données par les relations (13) 

 satisfont aux équations (4) quand on suppose u = po? il vient : 



Il résulte de ces équations que si {n — I) des fonctions /j, ...,/„ 

 ne contiennent pas un des po, il en est de même de la n'^""'. 



IV. Si l'on déduit des n premières équations (13) , par élimina- 

 tion des p, plus d'une et moins de n relations entre z et les x, 

 on se trouve dans le cas des équations semi-linéaires , signalé par 

 Lie (n° 14, III), et rencontré incidemment par Serret (n° 119). 



V. On peut donner de la méthode de Caucliy, dans le cas 

 général, une interprétation géométrique symbolique dans un 

 espace à (/i -+- 1) dimensions, d'après les idées de Lie. L'équa- 

 tion (1) représente oo^'* éléments dans l'espace à (w -t- 1) dimen- 

 sions. Les raisonnements des numéros précédents démontrent 

 que les éléments de toute solution de l'équation (1) sont compris 



