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Pour que 1 = 0, il suffit, en général, que Io = 0, ou : 



dZo dœ,o dx„-^,o 



du^ dUi dui 



dZQ dXjo dXn-i,o ,,^ . 



dUn—l dUn-i dUn-l 



On peut satisfaire à celle-ci de diverses manières (*) : 



1° On peut supposer que Zq, Xio, ... , x„_i,o soient des cons- 

 tantes arbitraires, et que p^o, ... , jo„_i,o soient des fonctions quel- 

 conques des II , ou soient eux-mêmes les u. Dans ce cas , en 

 éliminant les p^ entre les n premières équations (15) on trouvera 

 Yintégrale complète : 



Y{Z,X,,...,Xn,Z^,X,Q,...,Xn-\,Q) — Q (18) 



2° On peut supposer 



Z-o = f (^105 •••5 ^n-1,o), 



Pio=-r--,--'iPn-i,o = 



JCio>^20 5 ••• 5 ^n-1,0 étant des fonctions quelconques des ii, ou 

 étant pris eux-mcmes pour les u. Pour trouver l'intégrale cor- 

 respondant à cette hypothèse, il faut se donner préalablement 

 la forme de y, afin de pouvoir éliminer les u entre les n pre- 

 mières équations (15). Cette intégrale est Vi?itégrale générale. 



5" Enfin, on peut satisfaire aux équations (17), au moyen 

 d'hypothèses intermédiaires entre celles dont nous venons de 

 parler. On peut poser, en même temps, 



^0^^^ f (^10 :••'■) ^mo) ■) 



Xm+i,(i = constante, ... , Xn-{,Q = constante, 



Ao5^2oj --j^mojPm+i.o) "-t'pn-i.Q étaut dcs fouctions quelconques 

 des ?i, et les autres p étant déterminés par les relations suivantes : 



Pu = ir— , • • • » Pmo = -j-— • 



dXi„ dXmit 



{*) Ce ne sont pas les seules manières de satisfaire à ces équations (n» 116. III). 



