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§ 29. Équations coitlenattt un notubve quelcottque de variables. 



107. Réduction du 'problème à Vintégration d'un système 

 d'équations simultanées. Soit réquation : 



f{Z,Xi,...,Xn,Pi,...,Pn) = (1) 



Supposons que, pour x„ = x„0 5 les quantités z, Xi, ... , x„_i, 

 Pi, ... ,p„ prennent les valeurs Zo, Xjo, ... , x„_,,0 5 ••• , Pio, - , Pns 

 liées entre elles par l'équation : 



/^(^OJ ^10 5 •••5 ^nOj PlOî •••» P«o) = . (2) 



La méthode de Cauchy consiste à prendre {n — i) nouvelles 

 variables «i, u^, ... , u„-i fonctions de X|, ... , ic„. On pourra sup- 

 poser réciproquement z, x^, ... ,x„_i, p,, ... , p„ fonctions de ?/,, 

 u^, ... , w„_i, x„. Dans cette hypothèse, on aura : 



dz dXi dxn^i 



^=P'5ï:^--*-^"-'i^-*-''" <^' 



dz dXi dXn-\ /.\ 



au du du 



l'équation (4) en représentant [n — 1), que l'on obtient en rem- 

 plaçant successivement ti par u^ , u^, ... , iin-i (*)• Dérivons l'équa- 

 tion (3) par rapport à u, l'équation (4) par rapport à x„, et 

 retranchons le second résultat du premier, nous trouverons : 



dpn jdpi dx^ dpy dXi\ jdpn-i dXn-\ dpn-i dx„_i\ 



du \dXn du du dXnj \ dx,i du du dx^ j 



(3) 



(*) Nous employons celle manière abrégée de représenter [n — 1) équations 

 plusieurs fois afin de pouvoir calquer le § 29 sur le § 28. Ainsi les équalions 

 (5), (7), (8), (9), (10), (10'), (11) en représentent chacune (n — 1), obtenues 

 en remplaçant u par Ui,u.2, ..,«<«-!, x par XifX^, ...^Xn-i, ou ppar pi,Pi, 

 ...,p„-i. 



