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105. Remarques. I. Dans le cas où l'équation est linéaire et de 



la forme 



Pp + Q^ = R, 



les deux premières équations auxiliaires sont celles de Lagrange : 



dx dij dz 



et elles suffisent pour résoudre complètement la question (§ 5). 



II. Si les deux équations (Idj) (ISg) ne contiennent pas go 5 on 

 en déduira : 



2/o=Fi(a5,2/,z), z.^=f^{x,y,z)\ 



Par suite, à cause de Zq = ^?/o, on a pour l'intégrale générale : 



Celle-ci conduit à une équation linéaire. Les équations linéaires 

 sont donc les seules qui conduisent à des intégrales du système 

 auxiliaire telles que les valeurs de z et de ?/ ne contiennent pas go- 

 La réciproque est évidente d'après la remarque précédente. 



IIL En exprimant que les valeurs données par les relations (15) 

 satisfont à l'équation (4), quand on suppose go seul fonction dett, 

 on trouve : 



£^ = /-^ 



relation qui prouve que /à et /i contiennent à la fois go? ou en 

 sont toutes deux indépendantes, sauf dans le cas on fi^ = (*). 



(*) Serret, qui fait u = y^^ z = fy^, q^ = f'^o, essaye de démontrer 

 ce théorème comme suit. L'équation (4) donne, dans cette hypothèse: 



« Cette équation, dit-il, devant avoir lieu identiquement, les termes multi- 

 pliés par ^ doivent se détruire. On a donc identiquement 



cqo '*tqo 



Ce raisonnement nous semble sans force probante, puisque f"yo n'a pas 

 une valeur indépendante de celle de z^ et q^. 



