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Dans le cas spécial traité par Cauchy, il n'en est pas de même. 

 Posons : 



Il est clair que cette fonction tt, quand on y substitue les 

 valeurs de y, z, p, q données par les équations (15) ne sera pas 

 infinie , pour toute valeur de x , parce qu'elle contient des cons- 

 tantes arbitraires ou mie fonction arbitraire. Par suite 



J TTdX 



ne peut devenir infinie que si tt := oo, pour x = Xq. En effet, si 

 TT était infinie pour une autre valeur, en restreignant suffisam- 

 ment l'intervalle (x — Xq), cette intégrale serait toujours finie. 

 Il ne peut donc y avoir d'exception que si l'on a , à la fois, 



/■(a^o,2/o,Pyo,Po»F'^o) = 0, (IS) 



^{Xo^yo,?yo,Po,f'yo) = ^ (i6) 



Cela ne peut arriver que si l'on prend la forme spéciale de la 

 fonction f déterminée précisément par ces équations. Dans ces 

 cas particuliers, si tt croît indéfiniment, en étant négatif, quand 

 X converge vers Xq, l'intégrale 



J TTdX 



sera finie, ou infinie et négative. Dans ces deux cas, on pourra 

 encore conclure I = Ode Iq = 0. Dans le cas contraire, il faudra 

 calculer I directement. Si l'on trouve I différent de zéro, on peut 

 en conclure qu'il n'y a pas de solution telle que pour x = Xq, 

 z = <i>y, rien de plus. 



Il se peut que l'équation ^ = oo , au lieu de donner une forme 

 de f pour laquelle on n'ait pas, à coup sûr, 1 = 0, donne au 

 contraire une valeur x = Xq, telle qu'il soit douteux que 1 = 0. 

 Dans ce cas, si réellement I n'est pas nul, on doit conclure qu'il 

 n'y a pas de solution qui permette de donner à a: la valeur ini- 

 tiale Xq. Ce cas d'exception ne semble pas avoir été signalé. 



