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2° On peut prendre pour Zq et y^ des constantes arbitraires qui 

 ne contiennent pas u^ et q^ contiendra seul ii dans les équations 

 (15). On arrivera dans ce cas à une solution complète contenant 

 deux constantes arbitraires Zq et ?/o, en éliminant q^ entre les 

 valeurs de ?/ et de z (*). 



104. Examen dhme objectmi de Bertrand. Bertrand a fait, 

 contre le procédé de démonstration précédent, l'objection très- 

 spécieuse que voici. On pourrait, dit-il, au moyen de ce procédé, 

 prouver que toute fonction yic qui s'annule pour une valeur Xq de 

 X, s'annule pour toute valeur de x. En effet, posons 



(14) 



Pour X, = Xo, yXi = ^Xo = 0, d'où il semble que l'on doive con- 

 clure par le raisonnement de Caucby, que l'on a ^jx = 0, pour 

 toute valeur de x, ce qui est absurde. 



Cette objection, très-juste en général, ne nous semble pas 

 applicable au cas spécial traité par Cauchy. La fonction ttx, dans 

 l'exemple de Bertrand, est liée de telle manière à la fonction yx 

 que les zéros de celle-ci sont les infinis de celle-là et réciproque- 

 ment. L'équation (14) prouve que 



j^ Ttxdx f^ 



e =^1 5 ./ TTxdx^ TTx, 



convergent vers l'infini, en même temps que Xj converge vers Xo , 

 ou fXi vers ^Xq. 



(*) Les auteurs cités en tête de ce paragraphe, c'est-à-dire Serret el 

 Lmschenetsky, ne se sont pas occupés de ce second cas, pourtant d'une 

 importance capitale, et signalé par Cauchy dans les notes ajoutées, en 1841, 

 à son mémoire primitif de 1819. Cela provient de que ces auteurs font u = y^, 

 tandis qu'il faut laisser à u toute son indétermination afin de pouvoir faire, 

 au besoin , u = j/^, ou ii = q^. 



