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u n'entre que dans les constantes de l'intégration de (12), savoir 

 2/oi ^0 5 7o- Ces constantes contiendront u de telle sorte que l'équa- 

 tion (4) soit vérifiée. 



Réciproquement, tout système intégral (13), des équations (4) et 

 (i2), où les valeurs initiales satisfont à la relation (2), donnera une 

 intégrale de l'équation (i), telle que les valeurs initiales satisfe- 

 ront à la même équation (2). La relation entre x, y, z s'obtiendra 

 en éliminant u entre (Joi) et (log), et les valeurs de p et de q, 

 trouvées par élimination de u entre (13i), (ID3) et (ID4) seront 

 précisément^ et^- En effet, les équations (12) et (4) permettent 

 de remonter aux équations (6) et (7), ou 



dœ du 



On déduit de celle-ci df = 0, ou /'= constante. Cette constante 

 est nulle à cause de la condition (2). Donc, en premier lieu, les 

 équations (12) satisfont identiquement à la relation (1). Ensuite, 

 on déduit des équations (5) et (4) 



dz = pdx -+- qdij . 



Si donc l'on prend pour variables, x et ?/, on aura : 



dz dz 



dx ' dy 



L'intégration de l'équation (1) est donc ramenée complètement 

 à celle du système des équations (12) et (4). 



103. Détermination d'une intégrale de (12) satisfaisant à (4). 

 Supposons que l'on ait déterminé le système intégral (15) des 

 équations (12). Par bypotbèse, on peut le mettre sous la forme : 



y = yo-+-f'3^ — ^0) «/^il^rî/c-oî^o)- (*^*i) 



z=z^-\-{x —x^)à.^{x,yo,Zo,q^), (14.) 



9=^0 + (^ — ^o)'/^4(^;yO,-05 7o) i^^i) 



