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 Cela posé, on cherchera le système intégral des équations : 



j^r "' j^r''"'-''^r''"" ■ ' ' 



et l'on exprimera les constantes en fonctions des valeurs initiales 

 2/105 — î yno des variables y pour Ui = Uio- Ce système intégral sera 

 en même temps celui des équations différentielles totales : 



dyi—biidui-^b.,^du^-^ h6,„irfWm, (l^i) 



dyn=bindUj-i-b.,„diL2-i h6,„„dw„, (14„) 



si l'on regarde ?/io, ..., y„o comme des constantes. Tirons des équa- 

 tions qui donnent ce système intégral les valeurs de yiQ, ...,3/„o- 

 Les équations ainsi trouvées 



2/io = FiKj---'^''«,ï/o---.2//ï)» (l^i) 



satisfont encore au système (14), et par conséquent, d'après la 

 correspondance qui existe entre les systèmes (14) et (1'), ces 

 équations (18) constituent le système intégral de (1'). Elimi- 

 nons-en Ui, ... , u„, par la substitution inverse de (15j et nous 

 aurons la solution complète du système (1). 



Remarque. Les systèmes (1) doivent rarement être intégrés 

 complètement. En général, on n'a besoin que d'une seule solution 

 des systèmes de ce genre. 11 est donc de la plus haute importance 

 de montrer comment l'on peut déduire une seule solution de (1) 

 d'une seule solution des équations (1G). 



100. Théorème de Mayer (*). On peut déduire une solution du 

 système (1') de chaque solution du système (16). Soit 



F(Mi,W2,...,W;„,î/i,...,2/„)=conslante, (19) 



(*) Lie, dans les Nachrichten de Gôtlingen, 1872, n" "25, p. 475, a très-bien 

 fait remarquer toute riniporlance de ce théorème de Mayer, qu'il n'avait pas 

 rencontré dans le développement naturel de sa propre méthode. Au fond, ce 

 théorème est une traduction, pour les systèmes ici considérés, du théorème 

 de Poisson , ou mieux de Jacobi. 



