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équivalentes (11) ou (9). Faisons-y Xi = x,o, elles ne changeront 

 pas. Dans cette hypothèse, xi se réduit à î/,o, ... , %„ à y„Q et. par 

 suite, le système (1 T) est remplacé par celui-ci : 



On a ajouté un aux indices a pour indiquer que l'une des varia- 

 bles a^i y a été .remplacée par sa valeur initiale a^jo- 



Il est clair que ce système (12) est encore complètement inté- 

 grable. En effet, il a pour solutions le système intégral du pre- 

 mier. On sait d'ailleurs que les conditions d'intégrabilité (5) ou (3') 

 étant identiquement satisfaites pour une valeur quelconque de x, 

 le sont encore pour la valeur spéciale Xiq. 



Il est facile d'écrire les systèmes successifs de n équations 

 si l'on convient d'ajouter les indices 1, 2, 5, ... , {m — 1), aux 

 indices des quantités y et a pour indiquer que l'on y remplace 

 successivement x,, X2, ... , x,„_, parleurs valeurs initiales, mais 

 cela est inutile, comme nous allons le montrer. 



98. Réduction de l'i}itégration des m systèmes auxiliaires 

 de n équations à celle d\m seul système. Il y a un cas où l'on 

 parvient immédiatement à terminer l'intégration. C'est celui où la 

 valeur spéciale de x,, savoir Xjo, est telle que pour cette valeur, 

 tous les a qui entrent encore dans les équations (12) s'annulent. 

 Dans ce cas, le système (12) donne 



//j(j = constante , . . . , y^^ = constante , 



le problème est complètement résolu et il est inutile d'effectuer 

 aucune transformation ultérieure. 



Nous allons montrer que l'on peut dans tous les cas, par un 

 changement convenable de variables indépendantes, faire en sorte 

 que cette simplification se produise. Posons 



Xi = Xi (w, 



f<,„), ..,^m=-37,„(Mi,..., U,„) (13) 



5 '^'^)ll,l 5 



