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 Par conséquent, les conditions (5) peuvent s'écrire sous la forme 



M{akk)-Ah{aik) = (5') 



Les conditions (5) ou (5') sont en nombre n. "* "^~ . Elles doi- 

 vent être satisfaites identiquement par les valeurs des y, puisque 

 celles-ci contiennent n constantes arbitraires. 



Les conditions (5) ou (5') sont donc nécessaires pour que le 

 système (3) ait un système intégral de la forme indiquée. Nous 

 dirons que ces conditions définissent un système (5) complète- 

 ment intégrable. On verra plus bas qu'elles sont suffisantes pour 

 que l'intégration soit possible. 



On peut remarquer que les conditions (5') donnent 



*=" dz 

 2 [Ai(auk)-Ah{au)]--=:0, (6) 



pour une fonction z quelconque. Mais on a (§ 47, n° 58) : 



(A/A/, — A/iAj) ^ = 2 [A,- (ank) — A/, (a,/,)] -^ • 



c'yk 



Donc les conditions (5) entraînent les suivantes : 



AiAftS - A„A/:; = (7) 



Réciproquement si celles-ci existent pour n fonctions z distinctes, 

 il est clair qu'elles peuvent remplacer les conditions (o) ou (5'), 

 d'après la tbéorie des déterminants. 



96. Réduction du système (5) à m systèmes de n équations 

 ordinaires du premier ordre. S'il y a vraiment n fonctions y qui 

 satisfont aux équations (5), elles devront satisfaire en particulier 

 aux n équations (4) suivantes : 



]^ = ""'^ = «-'-"j^ = ^-' ^'^^ 



Tome XXV. 15 



